Generación de una señal coseno discreta

Podemos generar una función senoidal o cosenoidal de forma discreta mediante una ecuación de diferencias que es obtenida a partir de la transformada Z de una función senoidal o cosenoidal según sea el caso. Esta ecuación de diferencias es fácilmente implementable en un microcontrolador o FPGA. En este ejemplo crearemos un generador de señal cosenoidal. Partimos de la transformada Z de una función coseno discreto considerándola como la respuesta al impulso de la función de transferencia de un sistema Y(z)/X(z):

Dónde W0 es la frecuencia angular en tiempo continuo y Ts es el tiempo de muestreo [ver mi entrada sobre el concepto de frecuencia en tiempo discreto]. Multiplicamos ahora por z^-2/z^-2 para obtener un modelo físicamente sintetizable (debido a que los valores positivos en los exponentes de z implican muestras desde el futuro):

Multiplicamos ambos lados por el denominador de la función de transferencia y despejamos para Y(z):

Aplicamos transformada Z inversa para obtener finalmente nuestra ecuación de diferencias:

Para simular el generador utilizaremos Xcos de Scilab que es una alternativa de código abierto de Simulink [si no están familiarizados con esta herramienta aquí hay un video curso en español]. Antes de colocar los bloques debemos ir a menú superior en Simulation>Set Context y definimos las siguientes variables:

Ts = 0.1
W0 = 2*%pi/10
k0 = cos(W0*Ts)
k1 = 2*k0
 
El diagrama en Xcos es el siguiente:

Recordemos que hemos supuesto desde el principio que x[n] = delta[n]. La función Delta de Kronecker (impulso discreto) es un super bloque formado por el siguiente subsistema:

Dónde el retardo 1/z está inicializado a 1. Obsérvese que en el diagrama principal estamos enviando los resultados de la simulación al workspace. Personalmente, las gráficas nativas Scilab me parecen feas. Para hacer una grafica en Python exportaremos los datos de la simulación a un archivo CSV con el siguiente comando en la consola de Scilab después de ejecutar la simulación:

csvWrite([A.time,A.values],'cos_data.csv',',')

Teniendo el archivo podemos generar una gráfica en Python con el siguiente código:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A = np.loadtxt('cos_data.csv',delimiter = ',')

plt.stem(A[:,0],A[:,1])
plt.ylim([-1.5,1.5])
plt.grid(True)
plt.xlabel('Ts*n')
plt.ylabel('y[n]')
plt.show()

  Se deja como ejercicio construir un generador para función seno.